3.1. La rupture arithmétique-algèbre

Matz, 1980, étudie les erreurs des élèves dans le domaine d’algèbre (factorisation, résolution d’équations, simplification de fractions, etc.). Elle propose une typologie des erreurs du point de vue psychologique et didactique. Elle identifie donc deux types d’erreurs : les erreurs correspondant à l’absence de changements conceptuels qui renvoient au passage arithmétique-algèbre (par exemple les erreurs de concaténation) et les erreurs liées à des techniques d’extrapolation qui sont des utilisations accommodées et inappropriées de règles justes d’abord rencontrées dans des contextes partiellement comparables. Pour le deuxième type d’erreur elle fait donc appel à une interprétation psychologique sur les processus d’élaboration de connaissances, notamment aux processus d’assimilation et d’accommodation proposé par Piaget, 1936, 1947. Puis, elle montre que les erreurs témoignent de tentatives raisonnables mais infructueuses d’adaptation des connaissances antérieurs à de nouvelles situations. Enfin, elle montre que les élèves font des erreurs liées à des généralisations des bonnes règles.

‘"error patterns arise through the (mis)application of extrapolation techniques that specify ways to bridge the gap between known rules and unfamiliar problems.mal-rules areovergeneralizations of the correct rules gained as explicit, declarative knowledge from the curriculum"’

Booth, 1984, 1988, renvoie les erreurs et difficultés des élèves en algèbre, d’abord à une incompréhension de lois de l’arithmétique et de la signification des lettres et des signes opératoires, puis au retrait dans les programmes d’enseignement des items visant une compréhension structurale des mathématiques (lois des nombres, opérations inverses, associativité et commutativité, distributivité), enfin à certaines approches des professeurs qui s’appuient d’avantage sur le sens commun et sur des éléments d’ostensifs à la place des éléments théoriques.

Kieran, 1992, 1994, considère que les difficultés des élèves en algèbre sont une conséquence de l’introduction de l’algèbre comme une généralisation de l’arithmétique où il y a des fausses continuité et des discontinuités (qu’on a déjà détaillé dans une paragraphe précédente).

Cauzinille et al., 1987 font une étude sur les erreurs des élèves au collège sous l’angle du passage arithmétique-algèbre. Ils relient les erreurs des élèves : à des lacunes dans les connaissances, notamment calcul des relatifs, à des restrictions dans l’application des connaissances (par exemple procédure de ré-écriture d’une expression avec parenthèses appliquée correctement seulement s’il s’agit d’une expression numérique), et à des généralisations des conditions d’application des connaissances (par exemple la commutativité de la soustraction).