3.2. Limitation à des éléments d’ostensifs

Des chercheurs constatent qu’on ne peut pas effectuer des tâches sans appui sur la forme de l’expression et sur des éléments ostensifs :

‘"Declarative knowledge does not become sufficiently well established to enable correct parsing without the support of the visual relations in standard notation. Thus visual salience comes into play not only in the character of some transformational rules, but also in the parsing structure of algebraic expressions" (Kirshner, 2004).’ ‘"Toute activité humaine se laisse décrire comme une manipulation d’objets ostensifs. Mais l’analyse la plus sommaire révèle que l’opérateur humain ne peut la réaliser (et ne sait éventuellement en rendre compte) qu’en évoquant ou en invoquant, à l’aide d’objets ostensifs appropriés, des objets non ostensifs qui n’apparaissent pas forcément spécifiques de l’activité. Ecrire 2+3=5 peut être vu comme une simple manipulation d’objets ostensifs, mais ne saurait s’effectuer intentionnellement sans l’intervention de certains objets non ostensifs spécifiques, telle la notion d’addition. Plus généralement, nous poserons le principe que, en toute activité humaine, il y a co-activation d’objets ostensifs et d’objets non ostensifs. La mise en œuvre d’une technique se traduit par une manipulation d’ostensifs réglée par des non-ostensifs". (Bosch et al., 1999)’

Mais nous soulignons que le fait de se baser uniquement sur les éléments d’ostensifs peut conduire à provoquer des erreurs chez les élèves. Nous citons quelques études montrant ces différentes erreurs.

Kirshner, 2004, renvoie aussi la source des erreurs en algèbre à une absence d’éléments théoriques et à la limitation des élèves à la forme de l’expression littérale en s’appuyant sur des éléments ostensifs pour effectuer les calculs :

‘"persistent algebra errors may reflect disengagement from declarative content rather than an inability to deal with it. (…) from the very start they are receptive to the visual structure of such rules separate and apart from intellectual engagement with the declarative content (...) Rather than reflecting misunderstanding of the meaning of correct algebra rules, they seem to indicate nothing more substantial than misperception of the forms of the correct rules"’

Pour montrer que les élèves s’appuient d’avantage sur la forme de l’expression que sur les propriétés mathématiques, Kirshner donne l’exemple suivant :

‘"5x2 groups the x with the 2 prior to the 5 is accomplished through a visual hierarchy of diagonal juxtaposition ahead of horizontal juxtaposition rather than through a declarative hierarchy of exponentiation before multiplication"’

Ainsi, les erreurs des élèves reviennent aussi à la généralisation du contexte de l’application d’une règle :

‘"The errors students tend to make in overgeneralizing rules are related to syntactic structure : they overgeneralize the context of application of the rule, not the nature of the transformational action. For example when students overgeneralize (xy)2=x2y2 as (x+y)2=x2+y2, they are overgeneralizing the context of application of the rule; the transformational action is essentially correct"’

De plus, le contexte et la forme de l’expression littérale, pour que les élèves effectuent une généralisation de la bonne règle, ont un impact important et exclusif :

‘"whereas students regularly overgeneralize the visually-salient rule (xy)2=x2y2 as (x+y)2=x2+y2, they virtually never overgeneralize a nonvisually-salient rule like x2-y2=(x-y)(x+y) a, say x2+y2=(x+y)(x-y)".’

Pascal, 1980, montre que les erreurs des élèves durant les transformations du calcul et le traitement des écritures littérales témoigneraient, d’une tendance à conserver les différences ostensives entre les écritures. (par exemple 0aa, il explique cette erreur sous l’angle des éléments d’ostensive en citant que, du point de vue de l’élève, c’est le moyen privilégié pour contrôler la non-réversibilité;(19,7-3,8)+7,4(3,8-7,4)-19,7 L’équivalence reconnue par les élèves entre ces expressions pourrait également témoigner de cette tendance à conserver les différences ostensives). De plus les élèves se satisfont d’une analyse "syntaxique".

Lemoyne et al., 1993, valident l’hypothèse que les erreurs des élèves reviennent à des pratiques de classes précédentes. Plus spécifiquement, les élèves font des transformations sur des expressions littérales en s’appuyant sur la forme de l’expression et sur des éléments ostensifs. Pour ces élèves, l’algèbre se présente alors uniquement comme une écriture ostensive dont le sens échappe en raison de l’incapacité de référer aux informations portées par ces expressions.

‘"Les erreurs sont inscrites dans les habitus scolaires développés tout au long des études primaires, habitus qui concernent le traitement des écritures symboliques et qui se cristallisent dans une tendance à traiter de formes d’écriture au détriment du sens de ces écritures. De nombreuses connaissances mathématiques interviennent dans le traitement de ces écritures mais ces connaissances nous semblent sous le contrôle de formes mémorisées comme ces formes constituaient les mathématiques"’