1.2.2. Les exercices à faire

• Partie a) Développer -2a(3a+6)

Même si le terme "développer" est utilisé la première fois dans les classes de quatrième en France et cinquième au Liban, les élèves ont déjà l’habitude d’utiliser la distributivité de la multiplication sur l’addition dans les classes précédentes. Nous pensons que presque tous les élèves vont appliquer la distributivité et que la majorité de réponses seront correctes. Les réponses fausses et les erreurs seront probablement les suivantes : -6a-12a ; -6a2-12 ; -6a2+12a ; l’erreur de concaténation.

• Partie b) Développer et réduire l’expression : 5x+4(2x-7)

C'est une tâche classique mais vue la forme de l'expression, il risque d'avoir des erreurs. Selon Drouhard, 1992, quand l’expression est de la forme a+(bc), il y a une erreur classique effectué par les élèves a+(bc)=(a+b)(a+c). Il explique ce phénomène en disant que la forme a  (b ∆ c) = (a  b) ∆ (a  c) apparaît comme caractéristique de la distributivité, même si ( ; ∆) = (+ ; ) ou ( ; ) ou (+ ; +). Donc nous pensons que ce type d’erreur va apparaître majoritairement parmi les élèves qui vont se tromper. Une autre erreur sera probablement effectuée: d’une part, ajouter ou multiplier 5x et 2x et d’autre part, ajouter ou multiplier 4 et –7. D’après Grugeon, 1995, il y a des élèves qui ne respectent pas la priorité des opérations et dans cas ils regroupent les termes indépendamment des opérations. Enfin, il y a aussi l’erreur de concaténation.

• Partie c) Simplifier l'expression : 7-(4d-3)2

La difficulté provient que le signe  est après la parenthèse et en même temps il y a un signe "-" devant la parenthèse. Donc, probablement, la plupart des réponses fausses consistera à multiplier 2 par –3 seulement ou de ne pas changer le signe de –3. Il y a aussi l’erreur qui consiste à distribuer le 7, sur 4d et sur –3. Enfin, il y a aussi la possibilité d’avoir l’erreur de concaténation.

• Partie d) Compléter : -12x3=…..-8x3

Blando et al., 1989, ont trouvé certains types d'erreurs faites par la majorité des élèves, spécifiquement des erreurs liées à l’ordre des opérations. Ces erreurs n’apparaissent pas avec des expressions de la forme ab+c. Par contre, quand la forme de l’expression est a+bc, une majorité des élèves effectuent des erreurs de ce type. Les chercheurs expliquent ce phénomène en termes de règle : "exécuter les opérations du gauche à droite". Dans la tâche présentée ici, la forme de l’expression à compléter est a+bc et il n’y a pas de marqueurs explicite pour les priorités des opérations (le signe  est caché). Il y a aussi la difficulté d’effectuer "le calcul en arrière", c’est-à-dire à la droite de signe "=", parce que, pour les élèves, le signe "=" n’est pas une relation d’équivalence et ils ont l’habitude de faire le calcul à gauche de signe "=". De plus, les professeurs, dans les entretiens, ont cité que les élèves ne maîtrisent pas le calcul avec des nombres relatifs. Cette conviction chez les professeurs et le fait que la réponse est négative nous incite à penser que les élèves vont faire des erreurs de signe (par exemple en mettant 20 comme coefficient).

Enfin, nous avons pu constater que, dans les classes libanaises et françaises, on peut utiliser les expressions "même partie littérale" ou "termes semblables" pour expliquer comment réduire une expression littérale. Selon Tirosh et al., 1998 ce langage peut amener les élèves à considérer que pour réduire une expression littérale, il suffit d’avoir la même lettre et pas nécessairement la même puissance. Pour cela, nous pensons que, malgré l’apparence simple de cette tâche, la majorité des élèves va se tromper, en ajoutant à –8x3 une constante ou un monôme de degré inférieur ou égale à 2.