Les procédures de validation des élèves

En nous inspirant de travaux de Coppé, 1993 qui définit des types de vérifications, de Lesley et al., 1989, qui étudient les processus de généralisation et de justification en algèbre et de Sackur et al., 1997 qui tentent de donner une explication, en termes de sens et de dénotation, aux erreurs des élèves en calcul littéral, nous avons élaboré cinq catégories de validation pouvant être mis en œuvre par les élèves :

• Appel à la solution : l’élève fait l’exercice et compare sa production à celle de l’élève fictif ce qui lui permet de décider de la validité de la solution.
• Localisation de l’erreur : l’élève ne refait pas l’exercice mais il indique que la solution est fausse en pointant l’erreur ; les arguments employés pouvant être précis (indication explicite de l’erreur) ou plus vagues (par exemple, "faux, oubli des étapes lors de la distributivité").
• Utilisation d'un exemple numérique : l’élève teste en remplaçant la (les) variable(s) par un (des) nombre(s). C’est un type de tâche qui apparaît explicitement dans les programmes en France et les professeurs, dans les deux pays, l’utilisent comme une technique pour montrer que deux expressions littérales ne sont pas égales.
• Référence à une règle générale : l’élève ne fait l’exercice, n’indique pas où est l’erreur, il se contente de citer explicitement ou de faire référence à une propriété mathématique ou une règle qui peut être vraie ou fausse. Dans le cas où elle est vraie, elle peut être pertinente ou pas pour la situation.
• Référence à un argument général ou pas de justification. : l’élève se prononce en reprenant la consigne et en disant "il a bien développé/ il n’a pas bien développé", "il a bien calculé". Dans ce cas on ne peut pas savoir si l’élève a vraiment examiné la réponse ou bien s’il répond sans critères.

l'élève a lu la solution proposée par un élève fictif, il peut soit faire le calcul (dans sa tête ou sur le papier) et comparer les deux solutions, ce qui l'amènera à décider si la solution est juste ou fausse. Il peut aussi, grâce à un processus de vérification rapide (par exemple, portant sur le nombre de termes ou sur les signes "-" ou sur les puissances, test sur un exemple numérique) être amené à dire que c'est faux et, éventuellement à localiser l'erreur. Mais ce type de vérification, partiel, portant sur la vraisemblance, peut aussi le conduire à dire que c'est juste. Dans ce cas, il risque justifier son point de vue par une règle ou un argument général. Notons que dans les réponses au questionnaire, nous ne pouvons pas forcément voir ces cheminements, nous n'en avons que des traces.

• Partie a) Simplifier si possible (2x-3)(x+2). Fanny a écrit 2x2-6. Pouvez-vous dire si c’est juste ou faux. Expliquer pourquoi. Dans le cas où vous considérez que la réponse est fausse, donner votre réponse.

L’erreur de Fanny est classique, c’est une généralisation des conditions d’application de la règle (a+b)(a-d)=a2-b2. Les élèves de 3ème en France et 4ème au Liban ont déjà travaillé des tâches concernant les identités remarquables. Donc ce sont plutôt eux qui vont dire que la réponse est juste. En revanche, pour justifier que la réponse est fausse, la majorité des élèves vont, probablement, faire le calcul de nouveau et puis comparer le résultat avec celui de Fanny. Certains élèves peuvent localiser l’erreur (par exemple en raisonnant sur le nombre de termes) ou peuvent citer des règles générales. Enfin, d’autres élèves peuvent tester en remplaçant x par un nombre. Pour donner une réponse, ils vont appliquer la double distributivité en faisant des erreurs quand ils développeront ou quand ils réduiront. Les erreurs possibles seront : 2xx2x ou 4x ; 2x24 ; des erreurs de concaténation.

• Partie b) Développer et réduire si possible : C=3(4+5a)-2(4+3a). Enzo a écrit : C=12+15a-8+6a=4+21a. Pouvez-vous dire si c’est juste ou faux. Expliquer pourquoi. Dans le cas où vous considérez que la réponse est fausse, donner votre réponse.

Pour justifier que la réponse est fausse, les élèves vont plutôt localiser l’erreur. Pour donner une réponse, ils vont appliquer la distributivité pour chaque terme et les erreurs possibles seront des erreurs liées à la priorité des opérations et des erreurs de concaténation.

• Partie c) Supprimer les parenthèses de l’expression : -(2x+3). Leila a écrit : -(2x+3)=-2x+3. Pouvez-vous dire si c’est juste ou faux. Expliquer pourquoi. Dans le cas où vous considérez que la réponse est fausse, donner votre réponse.

Selon, Croset, 2005, pour cette tâche et expression, les élèves suppriment les parenthèses et donc, ne changent que le signe du premier terme.

Pour justifier que la réponse de Leila est fausse, les élèves vont plutôt : faire appel à la propriété mathématique concernant la condition d’enlever la parenthèse ; localiser l’erreur ; tester par un nombre ; appel à la solution. Quand ces élèves vont donner leur réponse, ils peuvent se tromper en ajoutant à l’intérieur des parenthèses ou en faisons l’erreur de concaténation.

• Partie d) réduire l’expression : 7-2x+4x. Louis a écrit : 7-2x+4x=7-6x. Pouvez-vous dire si c’est juste ou faux. Expliquer pourquoi. Dans le cas où vous considérez que la réponse est fausse, donner votre réponse.

Croset, 2005, décrit que la triple utilisation de signe moins (l’annonciation de la nature d’un nombre ; un signe opératoire qui annonce l’opposé d’un nombre ; l’opération de soustraction) est créatrice de confusions et d’erreurs : la soustraction est perçue comme étant associative  a – b – c  a – (b – c), parce que l’addition et la multiplication ont cette propriété ; le signe moins est pour toute l’expression qui suite : –a +…– (a+…) parce qu’il est vu comme annonciation de la nature d’un nombre.

Pour justifier que la réponse de Louis est fausse, les élèves peuvent localiser l’erreur ou faire appel à la règle générale concernant la somme de deux nombres relatifs ayant signes différents. Ils peuvent aussi tester par un nombre. Quand ces élèves vont donner leur réponse, ils peuvent se tromper, en mettant 7-2x, ou en faisons des erreurs liées à l’ordre des opérations ou des erreurs de concaténation.

• Partie e) Simplifier si possible l’expression 3a(-5a). Un élève a répondu 15a. Pouvez-vous dire si c’est juste ou faux. Expliquer pourquoi.

C’est la seule tâche où il y a deux erreurs dans la réponse : erreur de signe et erreur de puissance. Pour justifier que la réponse fournie est fausse, les élèves peuvent localiser l’erreur, citer des règles générales concernant des propriétés sur les nombres relatifs ou la notion de carré, tester par un nombre. Enfin, certains élèves peuvent ne déceler qu'une erreur.