1.3.2. Les exercices à faire

• Partie a) Développer -2a(3a+6)

Cet exercice a été assez massivement réussi puisque environ deux tiers des élèves (67%) ont donné la bonne réponse avec une meilleure réussite des élèves français (écart de 11%). Ce résultat confirme que cette tâche est très classique et fortement travaillé dans les classes.

Parmi les élèves qui ont fait des erreurs, voici la répartition selon le type d'erreur. Dans le tableau suivant, les pourcentages des erreurs sont calculés sur les réponses effectives des élèves parce qu’ils peuvent avoir plusieurs erreurs. On peut voir que, la majorité a bien tenté d'appliquer la propriété de la distributivité de la multiplication sur l’addition mais avec des erreurs (concernant le signe, la multiplication, la puissance de a, l’élève distribue en multipliant –2a avec le premier terme mais en l’ajoutant avec le deuxième). 14% des élèves libanais ont fait l’erreur de concaténation dans la réponse (quelques-uns avant de distribuer) tandis que presque aucun élève français n'a fait des erreurs de ce type.

Chapitre 5 – Tableau n° 4 : l’effectif et % des erreurs dans les réponses fausses

• Partie b) Développer et réduire l'expression : 5x+4(2x-7)

La grande majorité des élèves a répondu (91%). Cependant, moins de la moitié des élèves (45%) a donné la bonne réponse avec un écart de réussite net de 34% entre les élèves libanais et les français qui ont mieux réussi (61%). Cet écart important nous interroge. On peut penser que ce type d'expression n'est pas travaillé dans les classes du Liban ou bien que le travail important sur la double distributivité a un effet sur des types d'expressions assez semblables. D'ailleurs, on peut constater que c'est bien cette erreur qui est majoritaire notamment chez les élèves libanais. Enfin, il est probable que la forme ab(c∆d) apparaît comme caractéristique de la double distributivité, parce que les élèves s’appuient sur les éléments ostensifs plus que les éléments théoriques.

Chapitre 5 – Tableau n°5 : l’effectif et % des erreurs dans les réponses fausses dans la question numéro 1

En revanche, les autres types d'erreurs sont minoritaires (pas plus de 6%.).

• Partie c) Simplifier l'expression : 7-(4d-3)2

Il n'y a que 68% des élèves qui ont répondu, ce qui confirme que cet exercice n'est pas classique. De plus, comme nous l'avions prévu moins d’un quart des élèves (26%) a donné la bonne réponse. Il n’y a pas un écart remarquable entre les pourcentages des élèves français et libanais.

Chapitre 5 – Tableau n° 6 : l’effectif et % des erreurs dans les réponses fausses dans la question numéro 1

Parmi les élèves qui ont donné une réponse fausse, la majorité a fait des erreurs concernant l'application de la distributivité. Environ un tiers des élèves ont soit distribué le 2 seulement soit le –1 seulement avec un écart d’environ 22% entre le pourcentage des élèves français (plus élevé) et celui des libanais. En revanche, comme dans la tâche précédente, le pourcentage le plus élevé, concernant l’erreur de distribuer le 7, correspond aux élèves libanais avec un écart d’environ 17%. Enfin, on peut constater encore une fois que presque aucun élève français n'a fait l’erreur de concaténation tandis que 16% des élèves libanais ont fait ce type d’erreur.

• Partie d) Compléter : -12x3=…..-8x3

86% des élèves a répondu à cette question, donc un peu moins qu'aux autres ce qui confirme son caractère moins classique. De plus, seulement la moitié des réponses sont correctes avec un écart important de 29% entre le pourcentage des élèves français et libanais (un tiers des élèves libanais et deux tiers des élèves français a donné la bonne réponse). Cet écart important nous interroge. On peut penser que d’une part, les résultats des élèves libanais confirment l’analyse a priori et, d’autre part, les élèves français ne font pas autant d'erreur que prévu.

Chapitre 5 – Tableau n° 7 : l’effectif et % des erreurs dans les réponses fausses dans la question numéro 1

	France Liban Total effectif % effectif % effectif %
ax3 telle que a-4	30	19,2	25	17,4	55	18,3
ax ou ax2 telle que a = –4 ou -4	13	8,3	11	7,6	24	8,0
-4	2	1,3	18	12,5	20	6,7
a telle que a-4	15	9,6	42	29,2	57	19,0
Total	60	38,5	96	66,7	156	52,0

On peut constater encore une fois que ces sont plutôt les élèves libanais qui font l’erreur de concaténation (un cinquième des élèves français et la moitié des élèves libanais ont mis –4). Parmi les élèves qui ont donné une réponse fausse, la majorité a mis 20 ou 4 à la place de –4. Ce résultat correspond à l’analyse a priori, et plus spécifiquement à ce que les professeurs ont indiqué. Enfin, il est probable que, dans les pratiques de classes, la technique de factorisation n’est pas mis en avant pour faire des tâches de type réduire une expression littérale ayant la forme d’un polynôme ou d’une somme algébrique.

Pour conclure, nous constatons que les élèves libanais commettent l’erreur de concaténation plus que les élèves français. On peut y avoir plusieurs raisons. Pour la représentation des nombres rationnels en Arithmétique au Liban, comme dans les pays Anglophones, la juxtaposition d’un nombre et d’une fraction implique une addition : bp/q signifie b+p/q.

D’après les analyses de manuels, nous constatons que le nombre de tâches de type réduire des expressions littérales sous formes polynômes ou des sommes algébriques dans les manuels français est plus grand de celui dans les manuels libanais. Enfin, on peut constater qu’en France, dans les pratiques de classes, il y a investissement du temps pour le moment du travail de la technique autour des tâches de ce type plus que les pratiques de classes au Liban parce que dans les manuels français les formes des expressions littérale (des polynômes de degré inférieur ou égale à 2), sont plus simple de celles au Liban. Ainsi, les élèves français font plus de tâches de ce type.