1.3.3. Les exercices déjà résolues par des élèves fictifs

• Partie a) Simplifier si possible (2x-3)(x+2). Fanny a écrit 2x2-6. Pouvez-vous dire si c’est juste ou faux. Expliquer pourquoi.

Presque tous les élèves ont répondu à cette question et la grande majorité parmi eux (88%) ont considéré que la réponse fournie par Fanny est fausse. Ce pourcentage élevé montre que les élèves sont capables de mobiliser des procédures de validation dans le cas d'un exercice classique.

Pour le montrer, la plupart ont refait le calcul (38%), cette procédure étant plus massivement utilisée par les élèves libanais. Un quart des élèves sont capables, sans refaire le calcul, de dire que la réponse est fausse, en utilisant des arguments portant sur la forme de l'expression ou sur le nombre de termes : "Fanny a oublié un x" ; "elle a oublié de développer deuxième calcul de chaque cas" ; "elle a 2 termes elle doit avoir 4 termes". Seulement 12% des élèves citent des règles générales qui correspondent à des propriétés mathématiques correctes et adaptées : "(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd" ; "multiplier chaque terme de la première parenthèse par les deux termes de la deuxième parenthèse" ; "quand il y a un produit de deux sommes (a+b)(c+d), on trouve 4 termes". Cet emploi de règles est plus fréquent chez les élèves français (7% d’écart). Enfin, aucun élève n'a fait le test avec un nombre. Nous pensons que la forme classique de cet exercice ne favorise pas le test par un nombre qui peut se révéler plus long qu'un contrôle sur la forme.

Parmi les élèves qui indiquent que la réponse fournie par Fanny est fausse, 85% ont donné une autre réponse dont environ un quart qui ont donné une réponse elle- aussi fausse.Environ un tiers des élèves libanais ont commis des erreurs (concaténation , distributivité partielle, calculer à l’intérieur de parenthèse avant de l’enlever, d’ajouter des termes en x2 avec des termes en x, de multiplication , etc.). Pour les élèves français moins de un cinquième ont fait des erreurs de même type. Nous voyons donc là un résultat assez évident, qu'il ne suffit pas de reconnaître une erreur pour la corriger.

• Partie b) Développer et réduire si possible : C=3(4+5a)-2(4+3a). Enzo a écrit
  C=12+15a-8+6a=4+21a. Pouvez-vous dire si c’est juste ou faux. Expliquer pourquoi.

Seuls 42% des élèves ont considéré que la réponse fournie par Enzo est fausse. Il y a 9% d’écart entre les élèves français et libanais (plus élevé).

Parmi les élèves qui indiquent que la réponse fournie par Enzo est juste, le pourcentage le plus élevé (43%) correspond aux élèves qui ne justifient pas ou qui citent des arguments généraux (par exemple "juste, car il a développé" ; "juste, il y a toute les étapes" ; "juste, il a développé puis réduit sans erreurs" ; etc.). Parmi ceux qui ont fait "appel à une règle générale", la majorité a cité des propriétés mathématiques correctes mais non adaptées (par exemple "juste, Enzo a fait entièrement la simple distributivité avec 5(4+5a) et 2(4+3a)" ; "juste, il a respecté les règles de priorité" ; "juste, il a additionné seulement les nombres ayant même partie littérale" ; etc.). Nous voyons là que les élèves utilisent des procédures de validation basées sur la forme de l'expression comme le nombre de termes, les puissances mais qu'ils ne contrôlent pas la validité des calculs.

En revanche, pour ceux qui ont dit que la réponse fournie par Enzo est fausse, 21% des élèves ont localisé l’erreur (Par exemple "faux, parce que -23a=-6a" ; "faux, ici c’est trompé avec les signes" ; etc.). Enfin, comme dans la tâche précédente, aucun élève n'a fait le test avec un nombre.

Dans le tableau suivant nous avons distingué le pourcentage des élèves qui indiquent que la réponse fournie par Enzo est juste de celui qui indiquent que c’est fausse. Les pourcentages sont calculés sur le nombre total d’élèves qui ont donné une réponse.

Parmi les élèves qui ont considéré que la réponse fournie est fausse, 90% ont donné une autre réponse. Dans ce cas, moins de 10% ont donné des réponses fausses sans écart remarquable entre les pourcentages des élèves français et libanais, ce qui montre que ces élèves ont certainement pris des indices pour dire que la réponse est fausse et qu'ils savent donc la corriger.

• Partie c) Supprimer les parenthèses de l’expression : -(2x+3). Leila a écrit : -(2x+3)=-2x+3. Pouvez-vous dire si c’est juste ou faux. Expliquer pourquoi.

81% des élèves considèrent que la réponse de Leila est fausse. L’écart entre les pourcentages des élèves français et libanais ne dépasse pas 5%. Ainsi, il y a une grande différence de réussite entre cet exercice et le précédent qui peut s'expliquer par la forme de l'expression dans une moindre mesure, sûrement, par la consigne (ici il est indiqué "Supprimer les parenthèses" qui est un type de tâche institutionnelle avec une technique).

Le pourcentage le plus élevé (31%) correspond aux élèves qui citent des règles générales. Dans ce cas, la grande majorité des élèves fait appel à des propriétés ou à des techniques mathématiques correctes et adaptées (par exemple : "lorsque il y a un signe – devant la parenthèse, on enlève les parenthèses et on inverse les signes dans la parenthèse, s'il n’y a pas de multiplication" ; "elle n’a pas appliqué la règle des signes" ; "après le moins, quand nous avons une parenthèse, c’est comme si nous appliquons la distributivité" ; "le – porte sur tous les nombres / sur toute la parenthèse" ; "le signe – devant la parenthèse signifie –1" ; etc.). D’autre part, 25% des élèves localisent l’erreur (par exemple : "Leila n’a appliqué le – qu’au 2x et non au 3x comme il fallait le faire à cause des parenthèses" ; "elle aurait dû aussi écrire –3 à la place 3" ; etc.). Ensuite, 22% des élèves refont l'exercice. Parmi les élèves qui indiquent que la réponse est juste, la majorité a cité des arguments généraux (par exemple "juste, car il y a suppression des parenthèses") ou n'a pas justifié. Enfin, on peut constater encore une fois que les élèves ne testent pas avec un nombre.

Parmi les élèves qui ont considéré que la réponse fournie est fausse, presque tous les élèves français et libanais ont donné une réponse qui est juste. Finalement, comme dans l’exercice précédent, les élèves ont certainement pris des indices pour dire que la réponse est fausse et ils savent donc la corriger.

• Partie d) réduire l’expression : 7-2x+4x. Louis a écrit : 7-2x+4x=7-6x. Pouvez-vous dire si c’est juste ou faux. Expliquer pourquoi.

La majorité des élèves ont répondu à cette question mais contrairement à ce que nous avons prévu environ la moitié disent que la réponse de Louis est juste. 23% des élèves citent des arguments généraux : "juste il a bien réduit au plus qu’il pouvait", "juste car il a bien calculé et ne s’est pas trompé dans les signes", "je dis que c’est juste par intuition", etc. 17% des élèves citent des règles générales dont la majorité sont des propriétés mathématiques correctes mais pas complètement adaptées : "juste, il a bien additionné les termes de la même partie littérale ensemble", "juste, dans une addition on peut commencer n'importe où". Dans ce cas les élèves considèrent que la réponse est juste. En revanche 27% des élèves localisent l’erreur (le pourcentage le plus élevé) : "faux, parce que il a additionné –2x+4x sans se prendre compte qu’il y avait un – devant 2x", "faux, car –2x+4x=2x", "faux, car -2+4=2". Ensuite, 20% des élèves font appel à la solution et un écart de 9% apparaît entre les élèves français et libanais (le plus élevé). Finalement, comme dans les tâches précédentes, aucun élève ne fait pas test par un nombre.

Quand les élèves produisent leur propre réponse (le cas où les élèves considèrent que la réponse fournie par Louis est fausse), environ un quart ont eu la bonne réponse. L’erreur la plus fréquente correspond à la réponse 7-2x. Le pourcentage des élèves qui ont commis d’autres types d’erreurs (concernant la concaténation, l’ordre de priorité, de puissance, etc.) ne dépassent pas 5%, ce qui se révèle un faible pourcentage.

Dans le tableau suivant, nous avons distingué les pourcentages des élèves qui ont indiqué que la réponse fournie par Louis est juste ou fausse. Ainsi, les pourcentages sont calculés sur le nombre total d’élèves qui ont donné une réponse.

Comme dans les tâches précédentes et conformément à l’analyse a priori, parmi les élèves qui ont lu la solution proposé par Louis, la majorité qui décide que c’était juste se limite à justifier par un argument général ou à ne pas justifier. En revanche, la majorité des élèves qui citent que la réponse est fausse ont soit localisé l’erreur soit cité des règles générales.

Finalement, on voit donc que cet exercice, très classique, est peu réussi et que les élèves ont du mal à détecter l’erreur. Il semble que les procédures de validation employées se limitent à des critères de surface portant sur les ostensifs. Ainsi, les élèves vérifient la présence du terme en x et du terme constant et ne vérifient les calculs numériques. De plus, la forme de l’expression finale qui comporte moins de termes que l’expression initiale correspond à l’idée commune de "moins de termes possibles". Enfin, nous pensons que la technique de factorisation n’est pas mise en avant et les éléments technologiques basés sur la propriété de distributivité de la multiplication sur l’addition ne sont pas utilisés pour réduire une somme algébrique

• Partie e) Simplifier si possible l’expression 3a(-5a). Un élève a répondu 15a. Pouvez vous dire si c’est juste ou faux. Expliquer pourquoi.

La grande majorité considère que la réponse fournie est fausse. Il n’y a pas un écart remarquable entre les élèves libanais et français.

Le pourcentage le plus élevé (33%) correspond aux élèves qui localisent l’erreur et parmi eux il y a environ la moitié des élèves français et deux tiers des élèves libanais qui indiquent deux erreurs (par exemple : "il y a le signe – donc le résultat sera négatif. Il y a aa donc a2") alors que les autres n'en mettent en avant qu'une seule concernant le signe ou la puissance (par exemple : "car il n’a pas multiplié les a entre eux" ; "3(-5)=-15"). Ainsi, seulement 15% citent des règles générales correctes et adaptées, mais la majorité d’eux ont pris en considération l’erreur concernant le signe, plutôt que celle portant sur l'exposants (par exemple "car si on multiplie un nombre positif par un nombre négatif il sera négatif" ; "le produit de deux nombres identiques est forcément un carré"). Puis, 32% des élèves font appel à la solution avec un écart de 9% entre les pourcentages des élèves français et libanais (le plus élevé). Enfin, encore une fois, aucun élève fait test avec un nombre.

Parmi les élèves qui ont donné une réponse, il y a environ un quart des réponses fausses avec une erreur de signe ou une erreur de puissance. Enfin, il est probable que ces élèves ne distinguent pas le contexte de réduire une expression littérale avec un produit de polynômes de celui ayant la forme d’un polynôme ou d’une somme algébrique, où le langage : "on réduit en ajoutant des termes ayant même partie littérale", comme nous avons indiqué peut vivre dans les classes.

Pour conclure, les élèves utilisent toutes les procédures à l’exception du test par une valeur numérique, ce qui doit nous interroger sur les programmes français notamment, puisque ce type de tâches doit faire l’objet d’un enseignement. On peut donc penser que les professeurs dans les classes ne l’utilisent pas comme une procédure de vérification mais comme une tâche à part entière. Ainsi, ce type de tâche étant souvent réalisé sans finalité, les élèves ne le reconnaissent pas comme un outil de validation et, d’autre part, comme les expressions proposées dans le questionnaire étaient très classiques, on peut imaginer que les élèves utilisent alors d’autres types de validation plus rapides portant éventuellement sur la forme des expressions. Ce résultat est à mettre en lien avec d’autres recherches comme celles de Lee et al., 1989 ou de Davis et al., 1987 qui indiquent que les élèves n’utilisent pas spontanément le test par une valeur numérique pour prouver que deux expressions littérales ne sont pas égales.

Les élèves libanais refont davantage l’exercice alors que les élèves français qui font davantage référence à des règles générales. En plus, quand les élèves justifient que la réponse est fausse, ils utilisent majoritairement "appel à la solution" ou "localisation de l’erreur" ou "référence à des règles générales" alors pour justifier qu’une réponse est juste ils citent plutôt des arguments généraux ou ne justifient pas. Donc on peut se demander si c’est un élément révélateur des pratiques des professeurs dans chaque pays qui aurait des influences sur les procédures des élèves.

Enfin, on a demandé aux élèves qui considèrent que la réponse est fausse de donner leur réponse. Nous constatons que même s’ils disent que la réponse fournie par l’élève fictif est fausse et qu’ils localisent l’erreur, il peut y avoir des élèves qui donnent une autre réponse fausse. Dans ce cas, soit ils ont des critères de validations qui sont faux soit ils ont de bonnes critères de validation mais ils font des calculs faux.