Premier niveau de simulations : constat de la stabilité et de la convergence

Dans ce premier niveau nous faisons construire des simulations concernant les expériences aléatoires suivantes : pile ou face, pièce truquée ou non, un dé, pipé ou non, moyenne et distance quadratique, médiane écart moyen, schéma de Bernouilli, planche de Galton. Décrivons plus en détail cette dernière activité.

Le dispositif : une bonne introduction à la loi binomiale peut s’appuyer sur le tableau ou la planche de Galton. Mais si l’expérience est aisée, elle est difficile à montrer réellement dans un cours devant une centaine d’étudiants. Ainsi beaucoup ont eu l’idée de simuler l’expérience ; et si l’on connaît diverses versions de simulation à l’aide de langage de haut niveau (Pascal, Basic, etc.) nous avons choisi de simuler la planche de Galton à l’aide d’un tableur. Reprenons sa description dans la “ Kleine Enzyklopädie der Mathematik ” page 640 : “ Il s’agit d’un tableau parsemé de tiges rigides. Ces tiges sont placées de telle façon que la distance entre deux tiges adjacentes situées dans une même rangée est partagée dans les proportions p et (1-p) ....on peut expérimenter ainsi n’importe quelle distribution binomiale ”.

Une approche cellulaire : nous utiliserons les outils fondamentaux décrits ci-dessus ; l’initialisation se fait dans la cellule O1, la valeur « vrai » dans cette cellule correspond au lâcher d’une nouvelle bille. On tire un nombre au hasard et selon le rapport entre la valeur de ce nombre et la valeur de p choisie au départ la bille “ descend ” à gauche ou à droite. On recommence l’opération jusqu’au bas du tableau et l’on incrémente le compteur de la cellule où la bille est finalement arrivée. On peut construire un graphique représentatif des valeurs trouvées.

Visualisation : on peut se rapprocher de l’expérience en transformant l’affichage. Les cellules contenant “ Vrai ” afficheront l’objet “ Bille ” et les cellules contenant “ Faux ” afficheront l’objet “ Clou ”. Nous obtiendrons alors :