1.1.2.1. Le gradient de densité urbaine : la distance au centre

Pour mesurer l’étalement urbain des ménages, nous utilisons le modèle empirique de René Bussière qui se base dans ses formulations sur les hypothèses de base du modèle monocentrique de l’économie urbaine (Cf. chapitre 1). Ce modèle, appliqué pour la première fois à la localisation résidentielle à Paris et publié en 1972, a montré une grande précision à définir les limites et les dimensions spatio-temporelles de la suburbanisation des ménages mais aussi des entreprises (Tabourin et al. 1995).

Le but de ce modèle est de reconstituer la distribution des densités D(x,y) pour chaque point de coordonnées (x,y) au sein de l’espace urbain. Deux contraintes sont liées à cette fonction dont la première est liée à la population totale (N). La seconde est associée à la somme totale des coûts généralisés de localisation notés en chaque point c(x,y) qui est une quantité finie (C) (Bonnafous et Tabourin, 1998) :

Pour déterminer la fonction d(x,y) la plus probable, Bussière propose une solution qui maximise l’entropie du système, sous les contraintes précitées, elle s’écrit comme suit :

Ce modèle théorique de densité n’est opérationnel que pour une forme déterminée de la forme du coût généralisé de localisation c(x,y). Il n’est applicable que sur les villes monocentriques de type Alonso (Cf. chapitre 1) et qu’on peut caractériser par des coordonnées polaires :

Ce qui devient très simple en considérant que la fonction c(r, q ) est indépendante de q :

Bussière a réussi a prouvé à travers des tests statistiques la résistance de la forme la plus simple, celle d’un coût généralisé de localisation qui ne dépend que du coût de transport au centre pour lequel c(r)=r. Ce qui donne une fonction de densité :

En se basant sur la fonction exponentielle de densité attribué à Clark (1951) (Bonnafous et Tabourin, 1998 ; Tabourin et al. 1995) :

On peut facilement déduire la fonction de population cumulée à une distance r du centre :

où les paramètres de densité du modèle sont :

- r : la distance au centre,

- A : la densité extrapolée au centre de la ville

Selon la formulation (1’) du modèle simple de Bussière, la courbe de la population cumulée a une asymptote horizontale, ce qui veut dire qu’au-delà d’une certaine distance il n’y a plus de population additionnelle.

Des travaux sur un périmètre de 45 Km de Lyon (Tabourin et al. 1995) ont montré que l’asymptote n’est pas horizontale, surtout avec l’amélioration des moyens de transport. Ce qui les a conduit à proposer un amendement. Mathématiquement, il s’agit tout simplement d’ajouter une fonction linéaire à la fonction de Bussière pour obtenir le modèle amendé :

Kr représente le niveau de déconcentration périphérique lié à l’effet des infrastructures de transport.

En utilisant les gradients de densité, selon le modèle de Bussière ou la loi de Clark, plusieurs travaux en France montrent la permanence de l’étalement urbain des populations dans les villes françaises depuis 1975 (Mignot, 2000 ; Peguy, 2000 ; Bouzouina, 2003).

Pour mesurer l’étalement urbain ou la dilatation de la zone dense centrale nous utilisons le modèle de Bussière amendé à partir des données de populations de 1999 disponibles à l’échelle fine du quartier.