La centration de notre thèse sur l’enseignement et l’apprentissage de la résolution de problèmes à données numériques nous conduit d’emblée à examiner plusieurs définitions du terme problème dont le sens étymologique est fourni par le dictionnaire historique de la langue française (Rey, 1995). Ce substantif provient du latin problema (question à résoudre) emprunté vers 1380 au grec problêma qui désigne ce que l’on a devant soi, spécialement un obstacle, un sujet de controverse, une question à résoudre. Le mot est dérivé de proballein, composé de pro (devant) et de ballein (jeter), ce qui signifie jeter devant et, par abstraction, mettre en avant comme argument, proposer une question.
Ce n’est qu’à partir du 17ème siècle que le terme problème est employé en mathématiques (1612) et en physique (1632) pour désigner une question à résoudre par des méthodes rationnelles déductives ou par l’observation (Rey, 1995).
La comparaison des définitions du terme problème pris dans son sens mathématique, extraites des éditions successives du Dictionnaire de l’Académie Française (1694, 1762, 1798, 1835, 1932-1935) montre à la fois une permanence et une évolution. De la fin du 17ème siècle jusqu’au début du 19ème, le problème est toujours une proposition qui se révèle de type injonctif, exigeant une opération. Cependant le rôle dévolu à l’opération varie au fil des années : tandis que la première édition de ce Dictionnaire, datée de 1694, semble souligner davantage le volet heuristique du problème, les définitions publiées dans les éditions de 1762 et de 1798, mentionnent la nécessité de la présence simultanée d’une opération et d’une démonstration. Les deux exemples qui illustrent la définition appartiennent au domaine de la géométrie.
Probléme, en Mathematique, Est une proposition par laquelle on demande comment on peut faire une operation mathematique. C'est un probléme de sçavoir comment on peut décrire un cercle dans un quarré (Académie française, 1694).
PROBLÈME en Mathématique, est une proposition par laquelle il est demandé qu'on fasse une certaine opération suivant les règles des Mathématiques, & qu'on démontre qu'elle a été faite. La proposition de mesurer la hauteur d'une tour, en connoissant seulement la distance de l'observateur à la tour, est un problème (Académie française, 1762, 1798)
À partir de 1835, le problème mathématique n’est plus défini comme une proposition, mais comme une question à résoudre. Les exemples fournis précédemment ont été supprimés, mais le problème de géométrie et le problème d’algèbre sont mentionnés explicitement. Le terme problème est désormais associé à des verbes comme proposer ou résoudre, à des adjectifs comme insoluble ou difficile, ou bien encore au substantif solution.
PROBLÈME. s. m. T. de Mathémat. Question à résoudre, suivant les règles de la science. Problème de géométrie. Problème d'algèbre. Proposer un problème. Résoudre un problème. La solution d'un problème. Un problème insoluble, difficile à résoudre. (Académie française 1835, p. 2508)
PROBLÈME. n. m. Question scientifique à résoudre. Problème de géométrie. Problème d'algèbre. Proposer un problème. Résoudre un problème. La solution d'un problème. Un problème insoluble, difficile à résoudre. (Académie française 1932-1935, p. 2414)
L’Encyclopédie (Diderot, 1751-1772) détaille et illustre plus particulièrement la définition du Problème, en terme de Géométrie. On retrouve le terme de proposition et la demande d’une opération, à laquelle on a cependant adjoint la demande d’une construction. Plusieurs exemples sont donnés : diviser une ligne, faire un angle. Les notions de démonstration et de preuve sont présentes, comme dans le Dictionnaire. Un problème est déclaré être composé de trois parties : proposition, résolution ou solution et enfin démonstration. L’Algèbre est citée comme étant la meilleure méthode pour résoudre un problème.
En résumé, d’une part, l’idée d’obstacle à surmonter ressort de l’étymologie du terme problème, d’autre part au vu des définitions étudiées extraites de sources différentes, la notion de problème est intrinsèquement liée à celles (i) de proposition 5 contenant une demande, (ii) de résolution ou de solution, puis (iii) de démonstration.
Quant à l’usage scolaire du problème, ce n’est qu’à la fin du 19ème siècle avec les lois Ferry et la scolarité obligatoire qu’il se développe.
Nous reviendrons sur le concept de problème, en nous référant successivement aux cadres théoriques des mathématiques, de la didactique des mathématiques et de la psychologie. Mais auparavant, il convient d’examiner les définitions du terme énoncé très souvent associé de nos jours au terme problème.
Actuellement, c’est le terme d’énoncé qui revêt cette acception.