5.2.1. Le problème au sens général des mathématiques

En nous référant à l’étymologie et aux différents cadres théoriques convoqués, nous associons la notion de problème mathématique d’une part au verbe résoudre, d’autre part à la notion d’obstacle. Nous rejoignons ainsi Glaeser dans la différenciation qu’il opère entre problème et exercice, le premier impliquant tâtonnement et invention en vue de surmonter un obstacle, le second se réduisant à la l’exécution de tâches algorithmiques. Le concept de problème pourrait de notre point de vue être illustré dans l’absolu par les conjectures de Hilbert. En effet, dès lors qu’un problème est résolu, il n’a plus à porter le nom de problème mais il reste néanmoins un problème pour ceux qui ne l’ont pas encore résolu. En cela, nous considérons comme porteuse d’un pléonasme l’expression problème de recherche. L’activité qui consiste à chercher une solution à un problème ne doit pas pour autant être l’exclusivité des mathématiciens, même si l’on doit bien admettre que les découvreurs de la solution seront sans doute à rechercher parmi ces derniers.

Rechercher la solution à un problème, c’est tâtonner, c’est manipuler des objets et des concepts mathématiques, c’est acquérir une démarche de pensée.

En cela, on peut dire que l’activité consistant à chercher des solutions à des problèmes participe à la construction d’une culture mathématique, qu’elle revêt pour finalité le développement du sujet.