Annexe 4 : Résolution du problème des sept ponts de Königsberg (source : Wikipédia)

Le problème était insoluble, et c'est Leonhardt Euler qui, le premier, donna à ce problème la première résolution mathématique formelle en le ramenant à un problème de la théorie des graphes. Sa démarche peut être schématisée de cette manière :

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Le problème se ramène alors à la recherche d’un cycle eulérien (chaîne passant par toutes les arêtes du graphe une et une seule fois, et revenant à son point de départ), ce qui n’est possible que si le graphe associé au problème ne possède aucun sommet de degré impair. Celui de la ville de Königsberg en possède 4 (chaque berge est le départ de 3 ou 5 ponts), le problème n'admet donc pas de solution.

Si le problème avait consisté à n'emprunter les ponts qu'une seule fois sans pour autant revenir à son point de départ, cela reviendrait à la recherche d'une chaîne eulérienne (chaîne passant par toutes les arêtes du graphe une et une seule fois), ce qui n'est possible que si le graphe associé au problème possède 0 ou 2 sommets de degré impair. Dans le deuxième cas, le chemin doit partir d'un des sommets de degré impair, et aboutir à l'autre sommet de degré impair.