Le logit multinomial

Si on a plus de deux alternatives, la probabilité de choix de l’alternative i est donnée alors par :

P_n(i) = eµVin / ∑_jeµVjn

L’inconvénient majeur de ce modèle est ce qu’on appelle la propriété IIA – Independance of Irrelevant Alternatives. C'est-à-dire, la probabilité relative qu’un individu n choisisse l’alternative i plutôt que l’alternative j ne dépend que des caractéristiques des alternatives i et j. La probabilité relative de choix entre i et j est donc indépendante des autres alternatives disponibles : si les valeurs de U _in et U _jn ne changent pas, la probabilité relative ne change pas, même si d’autres alternatives sont ajoutées ou supprimées de l’ensemble. En fait, l’introduction d’une alternative nouvelle risque de déterminer une incohérence importante, puisque l’on se base sur des fonctions d’utilité qui traduisent des lois de comportement qui risquent de ne plus être valables dans les conditions de l’introduction de cette nouvelle alternative.

Un exemple classique d’un ensemble de choix qui viole la propriété IIA est celui du bus rouge et du bus bleu (Debreu, 1960). Soit des individus ayant le choix entre deux modes de transport pour se déplacer : l’automobile ou un service d’autobus rouge. Les coûts généralisés (ou la désutilité) des deux modes étant identiques, la répartition prévue par un modèle logit multinomial sera équivalente, 50% pour chacun. Si l’on peint en bleu la moitié de la flotte des bus (les autres attributs restant inchangés), les voyageurs ont désormais le choix entre trois modes de transport : l’automobile, le bus rouge, le bus bleu. On admet que les individus n’accordent aucune importance à la différence de couleur. Intuitivement, on s’attend à ce que les probabilités de choix respectives soient égales à P(voiture) = 1/2 ; P(bus bleu) = P(bus rouge) = 1/4. Le modèle logit multinomial, du fait de l’hypothèse IIA (P(voiture)/P(bus bleu) = P(voiture)/P(bus rouge) =1) conduit à la répartition modale suivante : 33% pour la voiture, 33% pour le bus rouge et 33% pour le bus bleu. Ces probabilités de choix sont incohérentes étant donné que même s’ils sont de couleurs différentes, les autobus ne représentent qu’un seul et même mode de transport. Il n’y a donc pas de raison pour que les parts de marché changent puisque les caractéristiques physiques du service bus (c’est-à-dire la vitesse, le coût, le confort, etc.) sont inchangés. En résumé, la propriété d’indépendance des alternatives non pertinentes est violée lorsque les alternatives (bus rouge / bus bleu) ne sont pas indépendantes l’une de l’autre, et la probabilité de choisir l’une est très corrélée à la probabilité de choisir l’autre.

Mais cette propriété est aussi un avantage du modèle logit, dans le sens où le modèle peut être calibré sur un ensemble d’alternatives et utilisé pour prédire les choix pour un ensemble modifié.