Les portails Lyon 2 :
Intranet
-
Portail Etudiant
-
www
Enseignement et apprentissage de la résolution de problèmes mathématiques
par PRIOLET Maryvonne
-
2008
-
Université Lumière Lyon 2
Menu
Présentation générale
Consulter le document
Versions imprimables
Contact
Table des matières
Illustrations
Tableaux
Page de titre
Remerciements
Contrat de diffusion
Résumé
Summary
INTRODUCTION GÉNÉRALE
PARTIE 1 : Cadre de la recherche
Introduction
Chapitre 1 : D’un point de vue étymologique et historique : Qu’est-ce qu’un problème ? Qu’est-ce résoudre un problème ?
1.1. Qu’est-ce qu’un problème en mathématiques ?
1.2. Qu’est-ce que l’énoncé d’un problème ?
1.3. Depuis quand résout-on des problèmes en mathématiques ?
1.4. Quelle place à l’école pour les problèmes mathématiques ?
1.4.1. Jusqu’au milieu du 19ème siècle : lire… puis écrire… puis… compter
1.4.2. De 1833 à 1945 : des problèmes résolument ancrés sur la vie quotidienne
1.4.2.1. De la loi Guizot aux programmes de 1882
1.4.2.2. Programmes de 1882
1.4.2.3. Programmes et instructions de 1923
1.4.3. De 1945 à 1970 : le début d’une réflexion pédagogique
1.4.3.1. Programmes et instructions de 1945
1.4.3.2. À partir de 1945, l’influence d’un pionnier : Polya… How to solve it?
1.4.3.3. De véritables changements
1.4.4. À partir de 1970 : l’activité de l’élève devient première
1.4.5. Une nouveauté dans les programmes et instructions de 1978, de 1980 et de 1985 : les situations-problèmes
1.4.6. Programmes de 1995 (cycle des approfondissements)
1.4.7. Programmes de 2002
1.4.8. Socle commun des connaissances et compétences (2006) et Programmes (2007)
1.5. Problème ou exercice ?
1.6. Conclusion du chapitre
Chapitre 2 : Du point de vue des mathématiciens : que revêt le concept de problème dans le champ des mathématiques ?
2.1. La conception platonicienne des mathématiques
2.2. La conception formaliste des mathématiques
2.3. La conception constructiviste des mathématiques
2.4. Conclusion du chapitre
Chapitre 3 : Du point de vue des didacticiens des mathématiques : Qu’est-ce qu’un problème ? Comment en enseigner la résolution ?
3.1. La théorie des situations didactiques selon Brousseau
3.1.1. La notion d’obstacle au sein des processus d’apprentissage
3.1.1.1. Obstacles d’origine épistémologique
3.1.1.2. Obstacles d’origine didactique
3.1.1.3. Le rôle déterminant de l’enseignant
3.1.2. Le concept de situation
3.1.2.1. Le concept de situation didactique
3.1.2.2. Le concept de situation non didactique
3.1.2.3. Le concept de situation a-didactique
3.1.3. La tâche selon Brousseau
3.1.3.1. Définition de la tâche
3.1.3.2 Distinction tâche / situation
3.1.3.3. Distinction tâche / problème
3.1.4. Les concepts de contrat didactique et de dévolution
3.1.4.1. Concept de contrat didactique : première définition
3.1.4.2. Concept de contrat didactique : seconde définition
3.1.4.3. Dévolution et contrat
3.1.4.4. Effets du contrat didactique
3.2. Les travaux en didactique des mathématiques selon Glaeser et l’école de Strasbourg
3.2.1. Glaeser : mathématicien et didacticien des mathématiques
3.2.2. La didactique expérimentale des mathématiques selon Glaeser
3.2.2.1. De la didactique des mathématiques à la didactique expérimentale des mathématiques
3.2.2.2. Enseignement mathématique et goût mathématique
3.2.3. Place de l’heuristique selon Glaeser
3.2.4. Problème et exercice selon Glaeser
3.3. La théorie des champs conceptuels dans sa dimension didactique selon Vergnaud
3.3.1. Les situations selon Vergnaud
3.3.2. La notion de champ conceptuel
3.3.3. En prolongement de la théorie des champs conceptuels
3.4. Une voie ouverte à d’autres recherches en didactique des mathématiques
3.4.1. Grilles et taxinomies L’usage des deux formes taxinomie et taxonomie est accepté. Dans l’ensemble de nos travaux, nous recourons au terme taxonomie. En revanche, lorsque nous nous référons à Pluvinage, nous respectons le terme taxinomie employé dans ses travaux. selon Pluvinage
3.4.2. Types de problèmes scolaires
3.4.2.1. Les problèmes ou exercices d’application
3.4.2.2. Les problèmes de découverte
3.4.2.3. Les tests ou devoirs
3.4.2.4. Les problèmes de modélisation
3.4.2.5. Les problèmes centrés sur le développement des capacités à chercher
3.4.3. Les situations-problèmes
3.4.4. Transformations et jeux des formulations selon Douady
3.4.4.1. Jeux de cadres et dialectique outil-objet selon Douady
3.5. Conclusion du chapitre
Chapitre 4 : Du point de vue des psychologues : Qu’est-ce qu’un problème ? Quelles sont les principales difficultés d’apprentissage liées à la résolution de problèmes?
4.1. Qu’est-ce qu’un problème ?
4.2. Théories de l’apprentissage : qu’est-ce qu’apprendre ? et comment ?
4.2.1. La théorie du schéma
4.2.2. La théorie des modèles mentaux
4.2.3. La théorie des champs conceptuels dans sa dimension psychologique selon Vergnaud
4.2.3.1. Le couple situation-schème
4.2.3.1.2. Les schèmes selon Vergnaud
4.2.3.2. Qu’est-ce qu’apprendre ? selon Vergnaud
4.2.3.3. La conceptualisation du réel
4.2.3.4. La notion de compétence selon Vergnaud
4.2.3.5. Le rôle de l’enseignant selon Vergnaud
4.2.3.6. Le couple schème-situation pour analyser l’activité de l’enseignant
4.2.4. Le rôle fondamental des représentations sémiotiques selon Duval
4.2.4.1. Représentations sémiotiques
4.2.4.2. Registres de représentation sémiotique
4.3. Impact des caractéristiques des problèmes et de leurs énoncés sur les performances des élèves à résoudre les problèmes
4.3.1. Caractéristiques conceptuelles et sémantiques des problèmes
4.3.1.1. Problèmes à structures additives ou multiplicatives, problèmes complexes
4.3.1.2. Relation des problèmes avec la vie quotidienne
4.3.2. Caractéristiques rédactionnelles de l’énoncé
4.3.2.1. Forme stéréotypée et épurée des énoncés.
4.3.2.2. Organisation textuelle des énoncés
4.3.2.3. Simplification et expansion des énoncés
4.3.2.4. Part d’implicite dans les énoncés
4.3.2.5. Effet de l'ordre d'énonciation sur l'activité de résolution.
4.3.2.6. Le lexique
4.4. Conclusion du chapitre
Chapitre 5 : Cadre théorique retenu pour la recherche
5.1. Quelles finalités pour l’enseignement des mathématiques ?
5.2. Qu’entendons-nous par problème ?
5.2.1. Le problème au sens général des mathématiques
5.2.2. Le concept de problème dans notre travail de recherche
5.3. L’enseignement et l’apprentissage de la résolution de problèmes
5.3.1. L’enseignement de la résolution de problèmes dans notre cadre théorique
5.3.2. L’apprentissage de la résolution de problèmes dans notre cadre théorique
5.4. Cadre d’observation et d’analyse de l’activité de l’enseignant
5.4.1. Activité et tâche
5.4.1.1. Définitions
5.4.1.2. Élaboration de l’activité en terme de tâches
5.4.2. Métier – Pratique – Activité
5.4.3. Analyse de l’activité
5.4.3.1. Difficultés à analyser l’activité
5.4.3.2. Méthodes pour analyser l’activité
5.4.4. Notion d’artefact
PARTIE 2 : Premières investigations - Première étape de la construction de l’objet de recherche
Introduction
Chapitre 1 : Évaluations internationales et nationales
1.1. Regard critique sur les performances des élèves de 15 ans à l’échelle internationale
1.2. Regard critique sur les performances des élèves aux évaluations nationales CE2 et 6ème, sur la période 1992-2006
1.2.1. Analyse des performances en début de CE2
1.2.2. Analyse des performances en début de 6ème
1.3. Conclusion du chapitre 1
Chapitre 2 : Étude longitudinale d’une résolution de problème sur quatre années
2.1. Description de l’étude longitudinale
2.1.1. Présentation générale de l’étude
2.1.2. Les sujets impliqués dans l’étude
2.1.2.1. Constitution de la cohorte
2.1.2.2. Représentativité de la cohorte
2.1.3. Choix du problème
2.1.3.1. L’énoncé du problème retenu
2.1.3.2. Analyse a priori du problème et de son énoncé
2.1.4. Mode de passation
2.1.5. Recueil des données
2.1.5.1 Codage des caractéristiques des élèves
2.1.5.2 Codage des caractéristiques du lieu de scolarité
2.1.5.3 Codage des traces écrites intermédiaires
2.1.5.4 Codage des réponses et des degrés de performances des élèves
2.1.6. Synthèse
2.2. Résultats de l’étude longitudinale
2.2.1. Degrés de performance
2.2.1.1. Degré de performance et année de scolarité
2.2.1.2. Discussion
2.2.2. Fluctuation des performances des élèves
2.2.2.1. Définition
2.2.2.2. Évolution des fluctuations des performances
2.2.2.3 Discussion
2.2.3. Profils chronologiques des performances des élèves
2.2.3.1. Définition
2.2.3.2. Répartition des élèves en fonction des profils chronologiques des performances
2.2.3.3. Discussion
2.2.4. Traces écrites intermédiaires
2.2.4.1. Qu’entendons-nous par trace ?
2.2.4.2. Traces écrites intermédiaires et années de scolarité
2.2.4.3. Présence de traces écrites intermédiaires et degré de performance
2.2.4.4. Traces élémentaires
2.2.4.5 Discussion
2.3. Conclusion de l’étude longitudinale
Chapitre 3 : Pratiques d’enseignement de la résolution de problèmes : ce que disent les enseignants
3.1. Fréquence des séances de résolution de problèmes dans des classes de CE2
3.2. Outils mis à disposition des élèves par l’enseignant
3.2.1. Manuels et fichiers de mathématiques
3.2.2. Affichages présents dans la salle de classe
3.3. Rôle et travail de l’enseignant
3.3.1. Investigations relatives à la phase de préparation des séquences de résolution de problèmes
3.3.2. Investigations relatives à la phase de correction des problèmes
3.4. Conclusion du chapitre 3
Conclusion de la partie 2
PARTIE 3 : De la construction de la problématique à la discussion des résultats obtenus
Introduction
Chapitre 1 : Construction de la problématique
1.1. À l’origine de nos travaux : des constats, des questions, des présupposés théoriques
1.1.1. Un premier constat : émergence de difficultés d’apprentissage en résolution de problèmes mathématiques
1.1.2. Un deuxième constat : repérage des pratiques régulières d’enseignement de la résolution de problèmes
1.1.3. Un troisième constat : l’identification d’un paradoxe
1.1.4. Des questions de départ
1.1.5. Des présupposés théoriques
1.2. Problématisation
Chapitre 2 : Méthodologie : présentation, mise en œuvre et discussion sur les méthodes pour construire, traiter et analyser les données
2.1. Cadre général de l’expérimentation
2.2. Méthodes et techniques pour construire, traiter et analyser les données
2.3. Population-élèves et sa représentation
2.3.1. Description et représentativité de l’échantillon-élèves
2.3.1.1. Description de l’échantillon
2.3.1.2. Représentativité de l’échantillon-élèves
2.3.2. Constitution des groupes GT et GE. Homogénéité de GT, GE et des classes
2.3.2.1. Constitution des deux groupes GT et GE
2.3.2.2. Homogénéité du GT et du GE par rapport à la variable Sexe
2.3.2.3. Homogénéité des classes par rapport à la variable Sexe
2.3.2.4. Homogénéité du GT et du GE par rapport à la variable Âge
2.3.2.5. Homogénéité des classes par rapport à la variable Âge
2.3.2.6. Homogénéité du GT et du GE par rapport aux performances au champ M2 des évaluations nationales CE2 de septembre 2002
2.3.2.7. Homogénéité des classes par rapport aux performances au champ M2 des évaluations nationales CE2 de septembre 2002.
2.3.3. Constitution et recueil de données sur les apprentissages des élèves
2.3.3.1. Codage des modalités de validité des réponses des élèves aux 12 problèmes
2.3.3.2. Codage des traces écrites intermédiaires
2.4. Population-enseignants
2.4.1. Construction des données sur les pratiques des enseignants
2.4.1.1. Construction du questionnaire
2.4.1.2. Réalisation des transcriptions des enregistrements vidéoscopés des séances de résolution de problèmes
2.4.1.3. Réalisation des transcriptions des enregistrements sonorisés des entretiens d’autoconfrontation
2.5. Expérimentation
2.5.1. Les problèmes à résoudre lors du pré-test et du post-test
2.5.1.1. Le contenu du livret d’énoncés de problèmes
2.5.1.2. Analyse a priori des 13 problèmes
2.5.2. Le protocole de passation du pré-test et du post-test
2.5.3. Opérationnalisation de notre cadre didactique : R 2 C 2
2.5.3.1. Les artefacts nécessaires et leur instrumentalisation pour l’opérationnalisation du cadre didactique R 2 C 2
2.5.3.2. Les conditions d’utilisation des outils
Chapitre 3 : Interprétation des résultats et discussion
3.1. Analyse des pratiques initiales des enseignants en situation d’enseigner la résolution de problèmes mathématiques
3.1.1. La démarche heuristique dans les séances de type n°1 de résolution de problèmes
3.1.1.1. Résultats
3.1.1.2. Synthèse
3.1.2. La fréquence des séances de résolution de problèmes et quantité de problèmes à résoudre
3.1.2.1. Fréquence
3.1.2.2. Quantité de problèmes à résoudre
3.1.2.3. Synthèse
3.1.3. Les outils utilisés par les enseignants lors de la résolution de problèmes
3.1.3.1. Résultats
3.1.3.2. Synthèse
3.1.4. La place accordée à la conversion de représentations dans les séances de type n°1
3.1.4.1. Résultats
3.1.4.2. Synthèse
3.1.5. La place de la mise en réseau des connaissances
3.1.5.1. Résultats
3.1.5.2. Synthèse
3.1.6. La phase de correction
3.1.6.1. Résultats
3.1.6.2. Synthèse
3.1.7. Synthèse sur l’analyse des pratiques initiales des enseignants
3.2. Analyse des performances des élèves (pré-test et post-test)
3.2.1. Scores globaux obtenus au pré-test ou au post-test
3.2.1.1 Comparaison des résultats au pré-test et au post-test
3.2.1.2. Scores globaux par groupe (GT et GE)
3.2.1.3. Scores globaux par classe
3.2.1.4. Comparaison des moyennes des scores globaux en fonction du sexe
3.2.1.5. Comparaison des moyennes des scores globaux en fonction de l’âge
3.2.2. Fréquence de réussite à chaque problème, au pré-test et au post-test
3.2.2.1. Fréquence de réussite par groupe (GT et GE)
3.2.2.2. Fréquence de réussite par classe
3.2.2.3. Résultats à chaque problème. Comparaison des fréquences de réussite au pré-test et au post-test
3.3. Analyse des pratiques des 4 enseignants du groupe-expérimental : mise en œuvre du cadre didactique R 2 C 2
3.3.1. Mise en œuvre du principe P2 : Mise en réseau des connaissances
3.3.1.1. Les choix effectués par chaque enseignant pour la mise en œuvre du principe P2
3.3.1.2. Synthèse
3.3.2. Mise en œuvre du principe P3 : conversion des représentations sémiotiques
3.3.2.1. Les choix effectués par chaque enseignant pour la mise en œuvre du principe P3
3.3.2.2. Synthèse
3.3.3. Mise en œuvre du principe P4 : principe de catégorisation
3.3.3.1. Les choix effectués par chaque enseignant pour la mise en œuvre du principe P4
3.3.3.2. Synthèse
3.3.4. Mise en œuvre du principe P1 : Recherche
3.3.5 Conditions : coexistence, régularité, dévolution
3.3.6. Synthèse
Chapitre 4 : Discussion générale
4.1. Résultats des élèves
4.2. Pratiques des enseignants lors des séances de type n°1
4.2.1. Régularité de la mise en place de séances de résolution de problèmes
4.2.2. Outils utilisés dans la séance de résolution de problèmes
4.2.3. Phases de recherche dans la séance de résolution de problèmes
4.2.4. La place de la conversion des représentations sémiotiques dans la séance de résolution de problèmes
4.2.5. La place et le rôle de la mise en réseau des connaissances dans la séance de résolution de problèmes
4.3. Effets du cadre didactique R 2 C 2 au travers des pratiques d’enseignement de la résolution de problèmes lors des séances de type n°2
4.3.1. Interprétation des effets du principe de Recherche (principe P1)
4.3.2. Interprétation des effets du principe de Conversion de représentations sémiotiques (principe P3)
4.3.3. Interprétation des effets du principe de Catégorisation (principe P4)
4.3.4. Interprétation des effets du principe de mise en Réseau avec des connaissances antérieures (principe P2)
4.3.5. Interprétation des conditions de mise en œuvre des quatre principes du cadre R 2 C 2
4.4. Portée et limites des analyses de notre expérimentation
CONCLUSION GÉNÉRALE
1. De la polysémie du mot problème à la construction de l’objet de notre recherche
2. Du questionnement sur les performances des élèves à l’observation des pratiques des enseignants
2.1. Les comparaisons internationales
2.2. Les évaluations nationales
2.3. L’étude longitudinale d’un échantillon de 213 élèves pendant quatre ans
2.4. Observation des pratiques des enseignants
3. De la mise à l’épreuve du cadre didactique R 2 C 2 à nos conclusions
3.1. Le dispositif
3.2. Quelques résultats
3.3. L’opérationnalisation du cadre didactique R²C²
4. De nos conclusions à nos perspectives de recherche
4.1. Une dominante didactique
4.2. Une dominante méthodologique
4.3. Une dominante d’ouverture
BIBLIOGRAPHIE
INDEX
Index des auteurs
ANNEXES
Annexe 1 : Contenu des épreuves du concours organisé par le Magistrat de la ville de Bourbourg – Document n°1
Contenu des épreuves du concours organisé par le Magistrat de la ville de Bourbourg – Document n°2
Contenu des épreuves du concours organisé par le Magistrat de la ville de Bourbourg – Document n°3
Annexe 2 : Page de couverture de l’ouvrage Nouveau traité d’arithmétique décimale (F.P.B., 1836)
Annexe 3 : Page de couverture de l’ouvrage Nouveau cours d’arithmétique (André, 1879)
Annexe 4 : Résolution du problème des sept ponts de Königsberg (source : Wikipédia)
Annexe 5 : L’idée du triangle de Möbius (Castelnuovo, Barra, 1980, p. 211)
Annexe 6 : Le Bourgeois Gentilhomme Acte II, scène IV (extrait : Les voyelles)
Le Bourgeois Gentilhomme Acte II, scène IV (extrait : Prose et vers)
Annexe 7 : Tableau récapitulatif des problèmes additifs (Vergnaud et al., 1997, pp. 63‑64)
Tableau récapitulatif des problèmes multiplicatifs (Vergnaud et al., 1997, pp. 123-124)
Annexe 8 : Caractéristiques des trois types de problèmes retenus dans le cadre des évaluations PISA 2003 (OCDE, 2004)
Annexe 9 : Calcul du score moyen pour les évaluations nationales CE2
Annexe 10 : Évaluation septembre 1998 (Mathématiques CE2) : Exercice n°15
Annexe 11 : Répartition des présences des 213 individus
Annexe 12 : Répartition des élèves de l’école élémentaire par âge (MEN, édition 2007)
Annexe 13 : Caractéristiques des 105 individus de la cohorte
Annexe 14 : Caractéristiques du lieu de scolarité des 105 individus de la cohorte
Annexe 15 : Traces écrites intermédiaires : inventaire des 147 types et décomposition en traces élémentaires
Annexe 16 : Relevé par individu du code des types de traces écrites intermédiaires réalisées au cours des quatre années
Annexe 17 : Traces élémentaires : inventaire au sein de chaque type de traces écrites intermédiaires
Annexe 18 : Traces élémentaires : codage
Annexe 19 : Réponses : codage par individu pour les quatre années
Annexe 20 : Types de réponses : inventaire, degré de performance, descriptif modalité, nombre d’occurrences au cours des quatre années
Annexe 21 : Degrés de performance par individu et par année de passation (6 modalités)
Annexe 22 : Calculs relatifs à la représentation barycentrique des rapports entre les degrés de performance et les années de scolarité
Annexe 23 : Calculs relatifs à la représentation barycentrique des rapports entre la fluctuation des performances et les périodes
Annexe 24 : Variation de la variable Fluctuation des performances par individu et par période
Annexe 25 : Variation de la variable Profils par individu
Annexe 26 : Définitions du substantif Trace
Annexe 27 : Inventaire des traces élémentaires par individu sur l’ensemble des quatre années
Annexe 28 : Modalités du contenu de la trace élémentaire Opération
Annexe 29 : Répartition du degré de performance pour chacune des 6 traces Opération retenues et pour chacune des années de scolarité
Annexe 30 : Individus, Groupe, Classe, Sexe, Date de naissance, Résultats au champ M2
Annexe 31 : Exercices d’évaluation CE2 entrant dans le champ M2 « Traitement des données – Résolution de problèmes »
Annexe 32 : Degré de performance aux problèmes en janvier lors du pré-test
Annexe 32 : Degré de performance aux problèmes en juin lors du post-test
Annexe 33 : Traces écrites intermédiaires aux problèmes en janvier lors du pré-test
Annexe 34 : Traces écrites intermédiaires aux problèmes en juin lors du post-test
Annexe 35 :
Questionnaires enseignants (Classes 1 et 2)
Questionnaires enseignants (Classes 3 et 4)
Questionnaires enseignants (Classes 5 et 6)
Questionnaires enseignants (Classes 7 et 8)
Annexe 36 : Transcriptions des enregistrements vidéoscopés des séances de résolution de problèmes de type n°1
Annexe 37 : Transcriptions des entretiens d’autoconfrontation réalisés suite au visionnement des enregistrements vidéoscopés des séances de résolution de problèmes de type n°1
Annexe 38 : Transcriptions de l’entretien d’autoconfrontation croisée réalisé à la fin de l’expérimentation
Annexe 39 : Livret des 13 problèmes à résoudre (pré-test et post-test)
Annexe 40 : Tableaux de synthèse présentant le découpage en phase des séquences (phase initiale de l’expérimentation)
Annexe 41 : Supports utilisés lors des séances de résolution de problèmes de la phase initiale
Annexe 42 : Les 13 énoncés de problèmes utilisés lors du pré-test et lors du post-test et leur classification
Annexe 43 : Les 13 énoncés de problèmes utilisés lors du pré-test et lors du post-test et les réponses attendues
Annexe 44 : Scores globaux par individus
Annexe 45 : Transcriptions des enregistrements vidéoscopés des séances de résolution de problèmes
